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UNA INDAGACION ACERCA DEL ESPACIO METRICO, ESPACIO FISICO Y ESPACIO PSICOLOGICO EN GEOGRAFIA
© CONSTANCIO DE CASTRO AGUIRRE
Laburpena: Ikerketa bat Geografiako espazio metriko, espazio fisiko eta espazio psikologikoari buruz Mapa fisiko bat egiten denean azpian dagoen neurri eredua aurkezten da, eta ondorioztatzen okerra dela distantzia egitate fisikotzat hartzea. Bestalde, distantzia-funtzioa eredu matematiko baten elementu gisa azalduko dugu; elementu hori hainbat egoera enpirikotan aplika daiteke, zehazki portaerazko mapetan, eta horiek ageriko interesa dute geografoarentzat. Gako-hitzak: geografia kuantitatiboa, portaerazko geografia, distantzia. Resumen: Se presenta el concepto de modelo de medida que subyace a la elaboración de un mapa físico, para concluir el error que supone conceptuar la distancia como un hecho físico. En segundo lugar mostraremos la función de distancia como elemento de un modelo matemático aplicable a diversas situaciones empíricas y concretamente a mapas comportamentales, de evidente interés para el geógrafo Palabras clave: geografía cuantitativa, geografía comportamental, distancia. INTRODUCCION Los geógrafos han dado por consabido que la distancia es un hecho físico evidenciable como el peso de los cuerpos. Podemos presumir la sorpresa que debe ocasionar a los profesionales de la disciplina geográfica si de pronto se les intenta corregir una concepción tan arraigada como ésta. Para el bien del desarrollo futuro de los mapas geográficos conviene familiarizarse con la noción de que la distancia no es un concepto perteneciente al mundo físico. Así puede suceder -como de hecho empieza a ocurrir ya que se tienen a la mano unos mapas, no físicos sino comportamentales, en donde sigue jugando un papel de plena validez matemática la función de distancia. Estos mapas comportamentales representan interacciones del hombre con el medio ambiente y, por supuesto, se fundamentan en modelos matemáticos sólidos al igual que los mapas físicos. Pudiera parecer que se trata de jugar con la imaginación y ofrecer ciertos productos de fantasía entreverados con nociones de estricto valor físico. Pudiera parecer, en este sentido, que hablamos de mapas comportamentales en una acepción metafórica. Pero no es así. Creemos que para situar al geógrafo de 1977 en un plano de acercamiento a lo que hoy se entiende por análisis espacial es necesario introducirlo en el manejo de los modelos matemáticos. Las llamadas Ciencias Sociales hacen en la actualidad constante uso de modelos matemáticos. Quizás sea la Geografía una de las parcelas menos familiarizadas con el tema, aun cuando comienza a serio en forma acelerada. El enfoque exclusivamente humanístico en la formación de los geógrafos ha contribuido sin duda a retardar la asimilación de instrumentos y técnicas matemático-estadísticas. Pero hoy día comienza a sentirse un clima de curiosidad inexistente hace una década. Recientemente en 1974 escribía Paul Claval1: «No creo que la Geografía esté amenazada: las disciplinas espaciales se hacen cada vez más necesarias en un mundo que se modifica a un ritmo cada vez más rápido. La que está amenazada es la enseñanza de la Geografía, tal como se concibe actualmente, y el cuerpo de geógrafos que en ella se han formado. Los profesores son contrarios a cualquier cambio en los métodos pedagógicos; tienen razón al no querer sacrificar métodos ya experimentados, pero no ven que. es urgente complementarlos. Sin esto último, los geógrafos fieles a la tradición clásica quedarán confinados a puestos oscuros, mientras que la Geografía la practicarán economistas, urbanistas e ingenieros que tendrán la formación necesaria para asimilar la parte moderna de nuestra disciplina». Vamos a intentar poner en claro para un geógrafo de nuestros días el trabajo conceptual lógico-matemático que implica representar la superficie terrestre mediante mapas. No nos referiremos al esclarecimiento de las técnicas cartográficas propiamente dichas; este conocimiento lo damos por supuesto. (Ver en Scientific American, nov. 197), una reciente exposición sobre el tema de las proyecciones debida a la pluma de Martin Gardner(2). Nuestras consideraciones estarán enfocadas en la línea de w. Bunge (3) y Ch. Board (4), quienes han acuñado el término «metacartografía» para señalar el punto en que inciden ciertos conceptos lógicos en la búsqueda de adecuación del modelo a la realidad. El hecho de enmarcar el concepto de mapa geográfico dentro de la labor de confeccionar modelos en la Ciencia acarrea una nueva perspectiva de fértiles consideraciones. El capítulo antes mencionado de Ch. Board se inicia así: «This chapter will regard maps as iconic or representational models and as conceptual models in a framework provided by the human being's struggle to communicate to his fellows something of the nature of the real world. There have been few previous attempts to generalize about maps in this way. The map can so easily be the point of contact between the modern quantitative approach and the traditional approach» (op. cit., 671). Queremos aportar una modesta contribución en esta misma línea de consideraciones. Presentaremos en primer lugar el concepto de modelo de medida que subyace a la elaboración de un mapa físico, para concluir el error que supone conceptuar la distancia como un hecho físico. En segundo lugar mostraremos la función de distancia como elemento de un modelo matemático aplicable a diversas situaciones empíricas y concretamente a mapas comportamentales, de evidente interés para el geógrafo. EL MODELO DE MEDICION EXTENSIVA «Para describir los hechos de la naturaleza, dice Rudolf Carnap (5), mediante conceptos cuantitativos, conceptos con valores numéricos, debemos disponer de procedimientos para llegar a esos valores. ..El primer punto importante que debemos comprender claramente es que para dar significado a términos como longitud y temperatura debemos disponer de reglas para el proceso de medición. Estas reglas no nos dicen sino cómo asignar un cierto número a un cierto cuerpo o proceso, de modo que podamos decir que este número representa el valor de la magnitud de ese cuerpo». El geógrafo que tiene ante sí un mapa y lee las distancias entre diferentes localidades no advierte esos procedimientos o reglas de que habla Carnap. Efectivamente, tenemos unos cuantos puntos en la superficie del planeta y queremos representarlos sobre un trozo de papel. Esto nos conduce inmediatamente a plantear dos conjuntos de objetos, uno referente a las localidades o puntos físicos y otro consistente en unos principios geométricos. El primero tiene realidad física y es accesible a toda clase de observaciones; el segundo tiene una entidad abstracta y de ningún modo puede considerarse «observable». A partir de aquí se inicia un juego de relaciones entre uno y otro conjunto. En primer lugar, si nos atenemos al ámbito de las observaciones físicas caemos en cuenta que lo que tenemos entre manos no son sino longitudes sobre la superficie terrestre. En este sentido, antes de hablar de puntos ni de distancias estamos obligados a establecer tres reglas. La primera regla consistirá en especificar cuándo vamos a considerar equivalentes dos longitudes; no se olvide que estamos hablando en un plano físico y descartamos por consiguiente toda alusión numérica. De la misma manera que cuando consideramos equivalentes en peso dos objetos equilibrados en la balanza. La segunda regla debe especificar la concatenación o combinación de longitudes. Es evidente que dos longitudes pueden unirse físicamente de varias maneras. Pero esa unión física deberá satisfacer ciertas condiciones para adecuarse a la operación aditiva entre números. La tercera regla debe fijar convencionalmente lo que vamos a tomar por unidad. Esta última decisión ha tenido muchas versiones a lo largo de la historia; la que hoy día nos rige fue convenida por una asamblea de científicos en París el año 1875 y está físicamente representada por una barra de metal (6). En segundo lugar, una vez establecidas las tres reglas precedentes, damos entrada a las representaciones numéricas. Al conjunto de localidades corresponde un conjunto de puntos geométricos. ¿Cuáles van a ser las relaciones entre distintas localidades? Evidentemente, no pueden ser otras que las longitudes de extensión que las separan. Estas longitudes serán medidas numéricamente y pasarán, por tanto, a gobernar las relaciones entre los distintos puntos geométricos. Es entonces cuando surge la aplicación del concepto de distancia sobre la cual volveremos más adelante. Por consiguiente, para llegar a representar numéricamente las relaciones entre distintas localidades, ha sido preciso antes que nada elaborar un modelo de medida. Este modelo se encarga de garantizar una asignación numérica adecuada a las relaciones físicas entre localidades. Cuando la lectura de un mapa nos dice que Barcelona se halla a equis kilómetros de París, ello nos parece un hecho trivial. Sin embargo, lo cierto es que se trata de una ardua labor imaginativa oculta tras este enunciado. Lo dicho hasta aquí nos pone en la situación de describir qué es un modelo de medida y cómo se aplica a nuestro caso. La base de todo ello estriba en la siguiente consideración. Nuestra familiaridad con los números y ciertas operaciones aritméticas es tal que somos muy propensos a tratarlos como cosas. Esto nos lleva automáticamente a pensar que la unión de la longitud «a» con la longitud «b» puede identificarse como la operación aritmética 1 (a) + 1 (b) .Ni siquiera pensamos que la longitud física «a» sea algo distinto de la expresión numérica que hemos denotado por l(a). Debemos partir por tanto de la existencia de dos mundos, uno físico en donde tienen lugar las observaciones sobre extensión, y otro numérico en donde se manejan puras relaciones formales. El puente que pasa del uno al otro mundo es obra humana de manera que se comete un grave error al dar como idénticos la unión física «a *b» (señalamos la operación de unir por el asterisco<> «*») y la suma l (a) + 1(b). Sin embargo, el mundo numérico que es enteramente un producto fabricado por la imaginación humana, puede representar ciertas operaciones o relaciones del mundo físico. En otras palabras, la operación aditiva l (a) + l (b) puede representar válidamente la operación física «a * b». Cuando hablamos de representar pasamos al lenguaje lógico de los modelos. En 1920 escribía Campbell (7) lo siguiente: «Measurement is the process of assigning numbers to represent qualities». Fue el primer toque de atención hacia el tema que nos ocupa. La tradición de Campbell fue seguida por Stevens (8) y Suppes (9) fundamentalmente. Hoy día,. la descripción de un modelo de medida se hace mediante lenguaje formalizado. Para iniciar esta labor se parte del concepto de sistemas relacionales de Tarski (10) que se definen del modo siguiente:
Notaremos que hasta el presente hemos evitado hablar de números y distancias. Queremos llevarle al lector la impresión de que lo que traemos entre manos son lisa y llanamente observaciones físicas. Ahora bien, ¿cómo traducir esas observaciones a números?; en otras palabras, ¿cómo representarlas mediante números? En el momento en que hagamos corresponder a cada uno de los elementos de L un número, tendremos ciertamente un conjunto N de números reales suplantando a L. Pero esta representación no es gratuita sino que exige ciertas condiciones a cumplir por parte de L; es lo que llamaremos el cuerpo de axiomas del sistema relacional empírico, el cual definiremos en los términos siguientes:
Téngase en cuenta que la relación R no es sino la primera regla que establecimos para las magnitudes físicas, es decir, la regla por la cual se establece la equivalencia entre magnitudes o el exceso de una sobre otra. La operación « * » se refiere a la segunda regla de concatenación o unión de magnitudes. Esta suma de condiciones axiomáticas para el conjunto de magnitudes físicas que hemos denotado por L hace que sea posible la representación numérica. En efecto, es fácil señalar la correspondencia de un sistema empírico de magnitudes así definido con un sistema de relaciones numéricas como < N, menor o igual + > en donde N designa un conjunto de números reales positivos, el símbolo ~ denota la relación consabida «menor o igual que» y el símbolo + alude a la operación de aditividad bajo condiciones de clausura. En otras palabras, la simple operación de señalar mediante una cantidad numérica la distancia París-Barcelona encubre todo este proceso lógico de elaborar un modelo de medición extensiva como el que acabamos de ofrecer. Algunas de estas propiedades axiomáticas son muy fáciles de reconocer; así por ejemplo la condición (1) se refiere a la transitividad, la condición -(2) establece la asociatividad en la operación «*», etc... En general, podemos afirmar que este modelo de medición extensiva responde al trabajo efectuado por Holder (11) en 1901, el cual hay que considerarlo un clásico de la Matemática moderna. A él se debe la elaboración de los axiomas descritos más arriba. Una vez llegados aquí, nos queda el trabajo de mostrar que lo que en Geografía hemos denominado comúnmente «distancia» no es sino la aplicación de un concepto de espacio métrico a un modelo de medición extensiva. Es decir, queda todavía un paso más cual es el de definir el concepto de espacio métrico como otro producto más de la abstracción humana, sobreponiéndose a las magnitudes observables del geógrafo. EL ESPACIO METRICO Y LA NOCION DE DISTANCIA Siguiendo el uso común del lenguaje pudiera parecernos familiar el concepto de espacio métrico. Sin embargo ello se debe a tiempos muy recientes. La primera definición de espacio métrico en los términos hoy ya consagrados en la matemática se encuentra en la obra de Kolmogorov y Fomin (12) publicada para 1954 en primera edición rusa. Esa idea de espacio métrico aparece de algún modo encubierta en los usos que vienen haciendo los geógrafos acerca de la distancia. Nuestra intención al escribir estas líneas es hacer una llamada de atención sobre este punto. El espacio métrico es o constituye un modelo abstracto; por consiguiente, sus elementos no son los que el geógrafo directamente maneja en el estudio de las magnitudes físicas tales como las extensiones que separan a un conjunto de localidades. Ya hemos visto que tras el hecho aparentemente sencillo de traducir a números estas extensiones late la aplicación de un laborioso proceso el cual desemboca en un modelo de medición extensiva. Nuevamente viene a suceder algo semejante si abordamos el uso de la distancia que vienen haciendo los geógrafos sobre estos mismos datos. Es decir, debemos advertir la existencia de dos modelos matemáticos que se re absorben el uno enel otro tal como expresamos a continuación en la Fig. A.
A un modelo de medida como el que acabamos de describir le encaja perfectamente el modelo de espacio métrico como una nueva reabsorción de los datos originarios de la Geografía. y es aquí en esta segunda fase de modelado donde la Geografía adquiere el carácter de una disciplina espacial. Un espacio métrico se define como un conjunto de puntos dentro de los cuales para cada posible par de puntos se traza una función denominada distancia. Expresado en símbolos esto mismo, decimos que tenemos un espacio métri- De ahí llegamos a la conclusión de que al producto cartesiano C x C se le podía asignar una función numérica mediante la aplicación de un modelo de medición extensiva. Ahora no nos queda sino mostrar que esta función numérica cumple las condiciones requeridas por la distancia del espacio métrico. Si tomamos la matriz completa C x C observaremos la primera condición de positividad en el hecho siguiente. A los elementos de la diagonal puede asignarse cero y cualquier otro elemento comporta un valor mayor que cero. La simetría de la matriz C x C cumple con la segunda condición. Una prueba intuitiva de la condición tercera puede verse a través de la interpretación geométrica de los valores de la matriz, es decir, tomándolos como segmentos de longitud en un plano. Es a partir de este momento donde queda plenamente justificado el uso de la distancia geográfica. Nos queda, sin embargo, una considera{:ión que hacer sobre los diferentes tipos de distancia y en consecuencia los diferentes tipos de espacio métrico a que ellos dan lugar. Concretamente, podemos describir varios modelos de distancia que cumplen las tres condiciones requeridas. La tradición geográfica ha manejado durante siglos la noción de distancia euclídea que puede expresarse así: d (a, b) = raíz cuadrada de (X.=Xb)2 + (Y.-Yb)2 La fórmula I cumple cabalmente con los requisitos de una función de distancia tal como quedaron antes señalados. Sin embargo existen otras fórmulas que pueden tener la misma justificación; tal por ejemplo la siguiente II) d (a,b)= /Xa-Xb/ + /Ya-Yb/ Para entender el significado de esta fórmula II conviene situarse en el plano de una ciudad trazada con calles paralelas Y perpendiculares. En esta figura la distancia entre dos puntos será el segmento rectilíneo que los une solamente en el caso en que esos puntos se hallen en la misma calle. Si los puntos se encuentran en dos calles diferentes la distancia entre ambos será la suma de las dos coordenadas.. La fórmula II recibe el nombre de «city block distance. por su evidente aplicación al plano de una ciudad (l3). Es importante notar que las dos fórmulas dadas caracterizan dos casos particulares de una expresión más general. En efecto véase la expresión III que fue diseñada por Ninkowski
Con arreglo a la fórmula III pueden entrar en consideración distancias sobre n dimensiones, o sea, distancias que no están necesariamente vinculadas a la concepción euclídea. Se observará que para p = 1 tenemos el caso de la fórmula II. Las consideraciones hechas hasta aquí nos han servido para plantear la existencia de un espacio modélico inconfundible con el espacio físico de la Geografía. El espacio métrico como producto de la Matemática es un espacio abstracto inaccesible a la observación por su propia naturaleza. Pero él nos sirve de modelo matemático al igual que tantas otras creaciones del intelecto; un modelo para encajar en él nuestras observaciones acerca del mundo físico. Hemos visto que uno de los datos más inmediatos con que ha contado la Geografía consiste en la observación de las magnitudes físicas. Son estas las primeras impresiones que arañan nuestra piel de observadores ingenuos. Sin embargo no son las únicas que pueden serle útiles a la disciplina geográfica. LA NOCION DE ESPACIO PSICOLOGICO Consideremos por un momento una cuestión si se quiere trivial que se habrá planteado alguna vez el lector. Supongamos que se nos plantea la posibilidad de elegir libremente un lugar para vivir. Cuando digo libremente quiero decir libre de los condicionamientos usuales que perfilan el modus vivendi: ingresos, trabajo. ..Es casi seguro que comenzaríamos a pensar en lugares extraños y remotos como una evasión ideal para escaparnos de los agobios cotidianos. Pero también es verdad que, por otro lado, iniciaríamos una experiencia dolorosa ante la privación de amistades y contactos que nos hacen grata la vida. Entraríamos, pues, a confrontar un forcejeo entre el aquí y el allí, nada fácil de resolver. Hemos traído esta consideración, si se quiere hipotética, para introducirnos en un tema que ha sido de gran interés para los geógrafos: el tema acerca de los diferentes atributos del «aquí» y del «allí» como factores que generan el movimiento constante de los seres humanos sobre la superficie terrestre. Estos movimientos son los causantes de fenómenos actuales tales como las aglomeraciones del transporte, la presión hacia la metrópolis, la especulación del suelo urbano, el gigantesco tráfico de las mercancías, etc. ..Con miras a analizar estos fenómenos el geógrafo moderno se encara frente al tema del espacio relativo, es decir el tema que estudia los emplazamientos terrestres no en unas coordenadas físicas de longitud y latitud sino en términos de costo y tiempo por ejemplo. He aquí pues que frente a la idea de un espacio físico hecho de magnitudes físicas estaríamos interesados en perfilar un espacio psicológico construido a base de observaciones acerca del comportamiento humano. En 1955; un geógrafo de habla inglesa, J. W. Watson (l4), quería introducir en la disciplina académica el concepto de distancia social : «[The geographer] should realize that just as there are economic distances which have little to do with physical ones, so there are social distances which have little to do with economic ones». El término resulta ciertamente afortunado en la Geografía actual, aun cuando debemos admitir que fue introducido treinta años antes en las ciencias sociales (l5). Si examinamos el contenido de lo que Bogardus quería acuñar con esta expresión en 1925, encontramos lo siguiente:
Bogardus describió siete tipos de conducta como indicadores de otras tantas distancias sociales. En realidad, el hecho crucial que nos interesa destacar es que las conductas de Bogardus podían ordenarse de acuerdo a un criterio de proximidad en la relación puesta de manifiesto. La posibilidad de ordenar observaciones y de consiguiente al par de términos puestos en relación sigue siendo el punto clave para construir a partir de ahí un espacio psicológico, como vamos a ver . Imaginemos el flujo de comunicación terrestre entre un grupo de localidades. De acuerdo al número de pasajeros que se visitan entre dos localidades, podemos efectuar una ordenación si se observan los contactos efectuados entre todos los pares posibles. El objeto inmediato de esta ordenación lo constituye la cuantía de pasajeros, pero es obvio que esta observación afecta siempre a una pareja de localidades. Si queremos representar numéricamente la ordenación, tendremos: 1) Una matriz cuadrada en donde filas y columnas señalan la misma lista de localidades.
2) El entrecruce de filas y columnas nos proporciona el número de contactos efectuados por pasajeros de ambas localidades; estos contactos los designamos con la función numérica r (C1C2), r (C1 C3)' etc. .. 3) Es evidente que con arreglo a estas funciones podemos llevar a cabo una ordenación. La ordenación lograda aquí es representable mediante un modelo de espacio métrico, con tal de que los datos r (C1, C2), r (C1, C3)... sean compatibles con la función de distancia tal como ha sido definida anteriormente. En efecto, si designamos por C: {C1 C2 C3}. . el conjunto de localidades, de acuerdo a la relación de contactos podemos trazar una estructura en los siguientes términos: A: {M, R} en donde: M = C x C alude a la matriz de localidades descrita más arriba y R alude a la relación de contactos que es una relación cuaternaria ordenable según la cuantía de contactos observados entre parejas de ciudades. Por otro lado, si definimos una estructura numérica como
Nótese que a mayor magnitud de la función numérica la distancia representada en el espacio métrico viene a ser menor. En otras palabras, podemos designar la función f como proximidad. De este modo, la matriz C x C sería una matriz de proximidades. He aquí, pues, que llegamos a la elaboración de un espacio que ostenta toda la validez matemática imaginable y por otro lado nada tiene que ver con el espacio físico. A este nuevo espacio lo llamamos psicológico en virtud de los datos que le sirven de punto de partida, los cuales han quedado consagrados con el nombre de proximidades. La transformación de estas matrices de proximidad en mapas es otro asunto que, aunque no nos ocupa en este momento, debe ser mencionado. En un trabajo de Peter Gould (l6) orientado al tema de las Matemáticas en Geografía se aborda este asunto con las siguientes palabras: «L'un des effets les plus heureux qu'auront eus I'utilization et I'importance croissante des mathematiques en geographie contemporaine est I'interet qui a ainsi eté accordé a cet outil si ancien et si particulier de la geographie qu'est la carte» (pág.332). Quépanos señalar por ahora que las investigaciones que adelanta el prof. w. Tobler actualmente en la Universidad de Sta. Barbara, California, son muy alentadoras. En algún momento le dedicaremos atención al tema. NOTAS (1) PAUL CLAVAL: Evolución de la Geografía Humana, OikosTau, Barcelona. Ver pág. 13. (2) MARTÍN GARDNER: On map projections (wilh special reference /o some inspired ones), Scientific American, nov. 1975, vol, 233, number 5, págs. 120-125. (3) W. BUNGE: Theoretical Geography. Lund Studies in Geography, 1966. (4) C. BOARD: Maps as Models, Chapter 16 in Physical and Information Models in Geography edited by R. J. Chorley and Hagget, Methuen, 1967. (5) R. CARNAP: Fundamentl1Cton Lógica de la Física. ed. Sudamericana. 1969. Ver pág. 91. (6) La búsqueda de unidades de longitud de fácil reproducción y adaptables a las más variadas situaciones ha sido una tarea milenaria. Los enfoques han sido distintos según los casos. Se ha usado la anatomía humana como fuente de inspiración; así por ejemplo resultan ilustrativas algunas denominaciones como brazo, codo, pie, etc. Otras veces se ha acudido a la botánica; concretamente al uso de semillas como cuando en la Inglaterra del siglo XV se definía la pulgada .en tres granos de cebada secos y redondos colocados uno junto a otro.. Ver A. KLEIN: The World of Measurements, Simon & Schuster, N. York, 1974, págs. 53-64. (7) N. R. CAMPBELL: Foundations of Science. Dover, 1957, pág. 267. (8) S. S. STEVENS: On the scales of measurement, Science 1946, núm. 103, págs. 677-680. (9) P. SUPPES & J. ZINNES: Basic Measurement Theory en LUCE, BUSH, GALANTER, Handbook of Mathematical Psychology J. Wiley, 1963,págs.1-76. (10) A. TARSKY. Contributions to the Theory of Models I, II. lndagationes Mathematicae 16 (1954) 572-588 (11) O. HOLDER: Die Axiome der Quantitat und die Lehre von Mass. Ser. Sach. , Gesellsch. Wiss. , Math. Phy. Klasse 53 (1901) 1-64 (12) KOLMOGOROF & FOMIN. Metric and Normed Spaces (1ª ed. rusa 1954) Graylock Pres5, N. York, 1957. (13) E. BEKENBACH & R. BELLMAN: An Introduction to Inequalities, Random House. 1961. ver pág. 99 y ss. (14) J. W. WATSON, Geography: A Discipline in Dislance. Scottish Geographical Magazine Vol. 71, núm. I. 1955, págs. 1-13. (15) E. S. BOGARDUS: Measuring Soclizl Dislance. Journal of Applied Sociology 9 (1925) 299.308. (16) P. GOULD: Les Mathematiques en Geographie revolution the01'1que on apparition d'un nouveloutil? Rev. lnt. Sc. Soc. vol. XXVII, núm. 2, 1975. págs. 319-347. © CONSTANCIO DE CASTRO AGUIRRE, 1977 Universidad Central Caracas |
